一道小朋友的数学题： 比较 \(\tfrac{85}{86}\) 与 \(\tfrac{87}{88}\) 的大小
Approach 1
对于大朋友来说，这道题最直观的解法就是通分，将两个分数乘上分母的最小公倍数 2x43x44=3784， 于是比较 \(\tfrac{85}{86}\) 与 \(\tfrac{87}{88}\) 的大小等价于比较 85x44=3740 与 87x43=3741 的大小。
但是对于低年级的小朋友来说乘法运算相对不是那么容易（这里例子中的数值较小，数值很大时难度会较大），且比较耗时，在一些快速竞赛中比较吃亏。
Approach 2
另外一种比较取巧的做法是变形，我们注意到两个分数的分子与分母之间的差值都是固定为1，可以将分数写成 \(\tfrac{85}{86} = 1 - \tfrac{1}{86}\) 与 \(\tfrac{87}{88} = 1 - \tfrac{1}{88}\)，等价于判断 \(-\tfrac{1}{86}\) 与 \(-\tfrac{1}{88}\) 的大小，分子相同时分母越大值越小，由于前面有个负号，故大小取反。
Approach 3
不难看出 \(\tfrac{85}{86}\) ? \(\tfrac{87}{88}\) 的大小方向与 \(\tfrac{83}{84}\) ? \(\tfrac{85}{86}\) 的大小方向一致，判断 \(\tfrac{85}{86}\) 与 \(\tfrac{87}{88}\) 的大小等价于判断 \(\tfrac{83}{84}\) 与 \(\tfrac{85}{86}\) 的大小，也等价于判断 \(\tfrac{83}{84}\) 与 \(\tfrac{87}{88}\) 的大小。以此类推，最后可以等价于判断 \(\tfrac{1}{2}\) 与 \(\tfrac{87}{88}\) 的大小。
\(\tfrac{85}{86}\) 与 \(\tfrac{87}{88}\) 的差值较小，很难一眼看出，我们利用大小方向一致的传递性，将差值累积起来，直到肉眼可见的差值。相信任何人都应该能一眼看出 \(\tfrac{1}{2}\) 与 \(\tfrac{87}{88}\) 孰大孰小，如果还看不出，咱们还可以从 \(\tfrac{87}{88}\) 往后传递，比如判断 \(\tfrac{1}{2}\) 与 \(\tfrac{9999}{10000}\) 的大小。这种方法有点大朋友们在微积分里学的极限思想。
许多大朋友可能会执着于 \(\tfrac{85}{86}\) ? \(\tfrac{87}{88}\) 的大小方向与 \(\tfrac{83}{84}\) ? \(\tfrac{85}{86}\) 的大小方向一致性，认为没有经过数学证明，不严谨。事实上比较大小只有大于、等于、小于三种可能，这其实是一道选择题，从三种结果中选择一种，并不要求我们提供严谨的数学证明。在快速竞赛中，对于肉眼可见的事实规律我们可以直接使用，需要用到证明时再去补充，不需要直接跳过即可。关键点在于不是所有的小朋友都有那个天赋能够一眼看出规律并加以利用。
当然，要证明这里的大小方向一致性也不难。我们将其一般化，令函数 \(f(x)=\tfrac{x}{x+1}，x>0\)，现在只需要证明函数 f 是单调的。即对于任意的 a 和 b 都有： a < b 时 f(a) < f(b) (单调递增)，或者 a < b 时 f(a) > f(b) (单调递减)。
有两种证明方法，一种是前面提到的通分法，可以证明函数 f 是单调递增的。
另外一种是微积分里的求导，\(f'(x) = \tfrac{(x+1) - x}{(x+1)^2} = \tfrac{1}{(x+1)^2}\)，显然函数 f 的导数恒大于0，单调递增。
Approach 4
这道题又称为糖水不等式，代入生活场景更容易理解。假设我们有一杯 86 克的糖水，其中含有 85 克的糖，\(\tfrac{85}{86}\) 表示糖水的甜度，往里边加 2 克糖 \(\tfrac{85 + 2}{86 + 2} = \tfrac{87}{88}\)，一定是更甜了。
换成更贴切的场景，小朋友玩了 86 把王者荣耀，赢了 85 把，胜率 \(\tfrac{85}{86}\)，接下来又赢了 2 把，胜率明显会更高。